Fonctionnement Mathématique de la Machine de Babbage

Rappels: une équation différentielle est une relation entre des fonctions inconnues et leurs dérivées. L'ordre d'une équation différentielle est l'ordre de la plus haute dérivée qui est utilisée.
Une suite arithmétique est une suite dont chaque terme est obtenu à partir du précédent par addition d'une constante.
Une suite géométrique est une suite dont chaque terme est obtenu à partir du précédent par multiplication d'une constante.
La dérivée d'une fonction en un point est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de cette fonction en ce point.
x est un réel, n le degré d'un polynôme (si n=1 P(x)= n₀ + n₁x¹,etc.)

Introduction

La machine différentielle de Babbage est construite avec des un certain nombre de colonnes, que l’on peut numéroter de 1 à N.
L’opération que peut effectuer la machine est l'addition de la valeur de la colonne n+1 à la colonne n. La colonne N contient une constante, et la colonne 1 affiche les résultats modifiés à chaque séquence que la machine effectue pour trouver le calcul final.

La machine est programmée au début de l’opération en réglant la valeur de chaque colonne. La colonne 1 est réglée à la valeur du polynôme initial. La colonne 2 est réglée sur la valeur de la dérivée de plus haut degré du polynôme. Les autres colonnes, de 3 à N, sont réglées sur des valeurs dérivées en (n-1) du polynôme de la colonne 2.

Selon les plans de Babbage, une séquence d’opérations est une série d’additions qui s’effectue en quatre rotations. Les colonnes paires et impaires tournent alternativement (comme des engrenages) pour en exécuter le plus possible. Une séquence d’opérations est donc:

- Ajout de la colonne n + 1
- Passage entre les colonnes
- Ajout de la colonne n - 1
- Repos

Calculer des polynômes

Etant donné que la machine ne peut pas faire de multiplications, elle ne devrait pas pouvoir calculer de polynômes. Mais en sachant la valeur du polynôme initial et de ses équations différentielles, elle peut calculer n’importe quel nombre intermédiaire.

Nous allons maintenant illustrer la méthode des différences permettant à la machine de fonctionner.

Soit le polynôme P(x) = 2x2 – 3x + 2. Nous voulons trouver les valeurs de P(0), P(0.1), P(0.2), P(0.3), P(0.4) etc.

[tr]

x	P(x) = 2x2 – 3x + 2	diff1(x) = P(x+1)-P(x)	diff2(x) = diff1(x+1)-diff1(x)
0.00	2.00	-0.28	0.04
0.10	1.72	-0.24	0.04
0.20	1.48	-0.20	0.04
0.30	1.28	-0.16
0.40	1.12

Les valeurs de Diff2 sont constantes. En fait, si au début on prend un polynôme de degré n, le nombre de la colonne n+1 sera toujours constant.

Nous avons construit ce tableau de gauche à droite mais nous allons continuer de manière dite diagonale pour trouver plus de valeurs de notre polynôme :

Pour calculer P(0.5) nous utilisons l’algorithme suivant : on commence avec la valeur constante de la troisième colonne, 0.04 et la copions jusqu’au bas de la colonne. Ensuite nous continuons avec la seconde colonne en ajoutant 0.04 à -0.16, pour trouver -0.12. On continue dans la première colonne en prenant la valeur précédente, 1.12, et en ajoutant -0.12 de la seconde colonne. Ainsi P(0.5) = 1.12 - 0.12 = 1.0.

[ diff2 (x₃) + diff1 (x₃) ] + P(0.4) = P(0.5)

Pour trouver P(0.6), nous utilisons le même algorithme, mais avec les valeurs de P(0.5), etc.
[ diff2 (x₄) + diff1 (x₄) ] + P(0.5) = P(0.6)

Ce processus peut être décliné à l’infini. Les valeurs polynomiales sont trouvées sans multiplier, simplement par additions successives.

La machine à différence de Babbage construite en 1991 peut « contenir » 8 nombres de 31 décimales et peut ainsi calculer des polynômes du 7^éme degré.